ДИСКРЕТНЫЕ СИГНАЛЫ: 26 ВОПРОСОВ И ОТВЕТОВ

Вопрос 10. Как найти дискретный сигнал по его z-преобразованию? | назад| оглавление| вперёд

Можно воспользоваться обратным z-преобразованием (подобно тому как мы пользуемся обратным преобразованием Лапласа):

,

где интегрирование ведется по замкнутому контуру в z-плоскости.

Другой способ заключается в том, чтобы разложить функцию в степенной ряд по степеням . Тогда коэффициенты при степенях будут, в соответствии с формулой (13), отсчетами дискретного сигнала .

Пример 10.1. Найдем дискретный сигнал , которому соответствует z-преобразование .

Воспользуемся разложением функции в ряд .

Для заданного z-преобразования , поэтому запишем z-преобразование в виде

.

Сравнивая полученное выражение с общей формулой z-преобразования , записываем последовательность

{1; 0,5; 0,25; 0,125; ...}.

Общий член этой последовательности .

Пример 10.2. Найдем отсчеты дискретного сигнала по его z-преобразованию

.

Для разложения функции в степенной ряд по степеням выполним деление числа 5 на многочлен . В результате получим частное . Отсчеты дискретного сигнала равны

и т.д.

Процедура деления здесь не приведена из-за ее громоздкости, хотя выражения полиномов, стоящих в числителе и знаменателе , не слишком сложные.

Более эффективным способом нахождения по известному является способ подобный методу разложения на простейшие дроби в преобразованиях Лапласа.

Пример 10.3. Найдем общий член дискретного сигнала , которому соответствует z-изображение, заданное в примере 10.2

.

Функция имеет полюсы в точках и , или, что то же, в точках и .

Разложим на сумму простых дробей:

. (16)

Коэффициенты в числителях каждой дроби вычисляются так же, как при разложении входного сопротивления реактивных двухполюсников при синтезе их по схеме Фостера:

Подобно тому, как формула (15) представляет сумму ряда (14), простые дроби в (16) являются суммами рядов

и .

Поскольку z-преобразование – это линейная операция, то последовательность состоит из суммы двух последовательностей:

.

После выполнения операции возведения в степень n получим отсчеты дискретного сигнала

и т.д.

Самоконтроль

1. Какие способы используются для нахождения дискретного сигнала по его z-преобразованию?

2. Запишите общий член последовательности , имеющей z-преобразование .

3. Запишите общий член последовательности , имеющей z-преобразование . Найдите значения , и этой последовательности.

назад | оглавление | вперёд