КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА 1
101. Точка движется по окружности радиусом R = 1,2 м. Уравнение движения точки φ = Аt + Вt3, где А = 0,5 рад/с; В = 0,2 рад/с3. Определите тангенциальное аτ, нормальное аn и полное а ускорения точки в момент времени t = 4 с.
111. С тележки, свободно движущейся по горизонтальному пути со скоростью v1 = 3 м/с, в сторону, противоположную движению тележки, прыгает человек, после чего скорость тележки изменилась и стала равной U1 = 4 м/с. Определите горизонтальную составляющую скорости U2x человека при прыжке относительно тележки. Масса тележки m1 = 210 кг, масса человека m2 = 70 кг.
117. В подвешенный на нити длиной L = 1,8 м деревянный шар массой m1 = 8 кг попадает горизонтально летящая пуля массой m2 = 4 г. С какой скоростью летела пуля, если нить с шаром и застрявшей в ней пулей, отклонилась от вертикали на угол α = 3º? Размером шара пренебрегите. Удар пули считайте прямым, центральным.
137. Какую нужно совершить работу A, чтобы пружину жёсткостью k = 800 Н/м, сжатую на x = 6 см, дополнительно сжать на Δx = 8 см?
143. На обод маховика диаметром D = 60 см намотан шнур, к концу которого привязан груз массой m = 2 кг. Определите момент инерции I маховика, если он, вращаясь равноускоренно под действием силы тяжести груза, за время t = 3 с приобрёл угловую скорость ω = 9 рад/с.
149. На краю платформы в виде диска, вращающегося по инерции вокруг вертикальной оси с частотой n1 = 8 мин–1, стоит человек массой m1 = 70 кг. Когда человек перешёл к центру платформы, она стала вращаться с частотой n2 = 10 мин–1. Определите массу m2 платформы. Момент инерции человека рассчитывайте как для материальной точки.
158. Какая работа A будет совершена силами гравитационного поля при падении на Землю тела массой m = 2 кг: 1) с высоты h = 1000 км; 2) из бесконечности?
165. Определите возвращающую силу F в момент времени t = 0,2 с и полную энергию Е точки массой m = 20 г, совершающей гармонические колебания согласно уравнению x = А sinωt, где А = 15 см; ω = 4π с–1.
173. Точка участвует одновременно в двух взаимно перпендикулярных колебаниях, уравнения которых x = А1 sinω1t и y = А2 cosω2t, где А1 = 8 см; А2 = 4 см; ω1 = ω2 = 2 с–1. Напишите уравнение траектории и постройте её. Покажите направление движения точки.

Указания к решению задач
1. Укажите основные законы и формулы, на которых базируется решение, и дайте словесную формулировку этих законов, разъясните буквенные обозначения формул. Если при решении задач применяется формула, полученная для частного случая, не выражающая какой-нибудь физический закон, или не являющаяся определением какой-нибудь физической величины, то её следует вывести.
2. Сделайте чертёж, поясняющий содержание задачи (в тех случаях, когда это возможно).
3. Сопровождайте решение задачи краткими, но исчерпывающими пояснениями.
4. Получите решение задачи в общем виде, т. е. выразите искомую величину в буквенных обозначениях величин, заданных в условии задачи. При этом способе решения не производятся вычисления промежуточных величин.
5. Подставьте в правую часть полученной рабочей формулы вместо символов величин обозначения единиц, произведите с ними необходимые действия и убедитесь в том, что полученная при этом единица соответствует искомой величине (см. примеры 1 и 8 в разделе 1, примеры 2, 3, 4, 6 и 7 в разделе 2).
6. Подставьте в рабочую формулу численные значения величин, выраженные в единицах одной системы. Несоблюдение этого правила приведёт к неверному результату. Исключения из этого правила допускаются лишь для тех однородных величин, которые входят в виде сомножителей в числитель и знаменатель формулы с одинаковыми показателями степени. Такие величины не обязательно выражать в единицах той системы, в которой ведётся решение задачи. Их можно выразить в любых, но только одинаковых единицах.
7. Произведите вычисление величин, подставленных в формулу, руководствуясь правилами приближённых вычислений, запишите в ответе численное значение и сокращённое наименование единицы искомой величины.
8. При подстановке в рабочую формулу, а также при записи ответа численные значения величин запишите как произведение десятичной дроби с одной значащей цифрой перед запятой на соответствующую степень десяти. Например, вместо 7460 следует записать 7,46·103, вместо 0,00000298 следует записать 2,98·10–6 и т.д.
9. Оцените (где это целесообразно) правдоподобность численного ответа. В ряде случаев такая оценка поможет обнаружить ошибочность полученного результата. Например, коэффициент полезного действия тепловой машины не может быть больше единицы (100%), электрический заряд не может быть меньше элементарного заряда |е| ≈ 1,6·10–19 Кл, скорость тела не может быть больше скорости света в вакууме c0 ≈ 3·108 м/с и т.д.

!!!  В конце контрольной работы указывается, каким учебником или учебным пособием студент пользовался при изучении физики (название учебника, автор, год издания). 
НЫЕ МАТЕРИАЛЫ ПО РАЗДЕЛАМ
КУРСА ФИЗИКИ
ФИЗИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ МЕХАНИКИ
Основные законы и формулы
Кинематическое уравнение движения материальной точки (центра масс твёрдого тела) вдоль оси 0Х:
,	(1.1)	
где  – некоторая функция времени.
Скоростью равномерного прямолинейного движения называют отношение: 
.	(1.2)	
Вектор мгновенной скорости в данной точке траектории:
.	(1.3)	
Зависимость координаты x от времени t (закон движения) выражается при равномерном прямолинейном движении линейным уравнением:
,	(1.4)	
где v = const – скорость движения материальной точки; x0 – координата точки, в которой находилась материальная точка в момент времени t = 0.
Ускорение – векторная величина a, характеризующая изменение скорости точки за промежуток времени:
.	(1.5)	
Мгновенным ускорением a тела называют предел отношения малого изменения скорости Δv к малому промежутку времени Δt, в течение которого происходило изменение скорости:
.	(1.6)	
При равноускоренном прямолинейном движении скорость материальной точки определяется формулой:
,	(1.7)	
где v0 – скорость материальной точки при t = 0 (начальная скорость); a = const – ускорение.
Формула для проекции перемещения материальной точки на ось 0X Sx при равномерно ускоренном движении на промежутке времени от 0 до t запишется в виде:
.	(1.8)	
Для нахождения координаты x материальной точки в любой момент времени t нужно к начальной координате x0 прибавить перемещение за время t (уравнение (закон) равноускоренного (равнопеременного) движения):
.	(1.9)	
Выражение для определения скорости v материальной точки, если известны начальная скорость v0, ускорение a и перемещение:
.	(1.10)	
Средняя скорость – отношение перемещения материальной точки за некоторый промежуток времени к этому промежутку:
.	(1.11)	
Тангенциальное (касательное) ускорение aτ характеризует быстроту изменения скорости по значению и направлено по касательной к траектории в заданной точке. Модуль тангенциальной составляющей равен:
.	(1.12)	
Нормальное (центростремительное) ускорение an направлено к центру окружности, вписанной в траекторию, перпендикулярно касательной (т. е. по нормали) к центру кривизны, и характеризует быстроту изменения скорости по направлению.
Модуль полного ускорения при криволинейном движении:
.	(1.13)	
Угловая скорость ω – векторная величина, характеризующая быстроту изменения угла поворота радиус-вектора, равная отношению угла ∆φ поворота материальной точки к промежутку времени ∆t, за который совершён поворот:
.	(1.14)	
Угловая скорость ω направлена вдоль неподвижной оси, вокруг которой вращается материальная точка, в сторону, определяемую правилом правого винта.
Изменение вектора угловой скорости со временем характеризуется угловым ускорением β:
.	(1.15)	
Связь между модулями линейных и угловых величин, характеризующих движение точки по окружности:
,	(1.16)	
,	(1.17)	
,	(1.18)	
где v – линейная скорость; аτ и аn – тангенциальное и нормальное ускорения; ω – угловая скорость; β – угловое ускорение; R – радиус окружности.
Гармонические колебания – колебания, при которых изменение физических величин, описывающих состояние системы, происходит по закону синуса или косинуса. Гармонические (или синусоидальные) колебания удовлетворяют соотношению:
	(1.19)	
или
,	(1.20)	
где х – отклонение (смещение); xm = A – амплитуда; ω – круговая или циклическая частота (рад·с–1); φ0 – начальная фаза колебания.
Скорость и ускорение материальной точки, совершающей гармонические колебания: 
,	(1.21)	
.	(1.22)	
Сложение гармонических колебаний, направленных вдоль одной прямой, при ω1 = ω2:
.	(1.23)	
.	(1.24)	
Сложение взаимно перпендикулярных гармонических колебаний, при ω1 = ω2:
,	(1.25)	
,	(1.26)	
.	(1.27)	
Пусть φ02 – φ01 = kπ, где k = 0, 1, 2, и т.д., тогда coskπ = ±1, sin2kπ = 0 и:
	(1.28)	
Пусть φ02 – φ01 = (2k + 1)π/2, где k = 0, 1, 2, и т.д., тогда , , и:
	(1.29)	
Предположим, что амплитуда колебаний A по мере распространения волны не изменяется, а среда однородная (т. е. фазовая скорость тоже не изменяется). Это означает, что мы будем рассматривать плоскую волну. Уравнение гармонической волны можно записать в общем виде:
	(1.30)	
где знак «минус» берётся для волны, распространяющейся в направлении возрастания x, а «плюс» – в обратном направлении.
Связь разности фаз Δφ колебаний с расстоянием Δх между точками среды, отсчитанными в направлении распространения колебаний:
,	(1.31)	
где λ – длина волны.
Второй закон Ньютона (основной закон динамики материальной точки) – возникшее под действием силы F ускорение a пропорционально вызвавшей его силе F:
,	(1.32)	
где F – сила; а – ускорение материальной точки; m – инертная масса материальной точки. Это уравнение движения.
Импульс (количество движения) – в нерелятивистской механике Ньютона – мера механического движения, представляющая собой векторную величину, равную для материальной точки произведению массы этой точки на её скорость и направленную так же, как вектор скорости:
.	(1.33)	
Второй закон Ньютона: скорость изменения импульса тела равна действующей на тело силе F:
.	(1.34)	
Закон сохранения импульса для изолированной системы:
.	(1.35)	
Закон всемирного тяготения (закон тяготения Ньютона):
Сила, с которой две материальные точки притягивают друг друга, пропорциональна массам этих точек и обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними:
,	(1.36)	
где G – коэффициент пропорциональности, называемый гравитационной постоянной или постоянной тяготения Ньютона.
Максимальная высота подъёма тела, брошенного вертикально вверх с некоторой начальной скоростью v0:
.	(1.37)	
Если некий объект обращается по круговой орбите на высоте h, которая пренебрежимо мала по сравнению с радиусом Земли RЗ, то его скорость называют первой космической скоростью. Это наименьшая скорость, которую надо сообщить телу для превращения его в спутник Земли. Первая космическая скорость при отсутствии атмосферы:
.	(1.38)	
Скорость движения по параболе относительно Земли принято называть второй космической скоростью. Это наименьшая скорость, которую нужно сообщить телу, чтобы его орбита в поле тяготения стала параболической:
.	(1.39)	
Гравитационный потенциал U:
	(1.40)	
где Eп – потенциальная энергия, которой обладает материальная точка массы m в данной точке поля; gradU – градиент гравитационного потенциала.
Линейная деформация (относительное удлинение) ε равна:
.	(1.41)	
Если внешняя сила действует равномерно на любое сечение S твёрдого тела, то силу, приходящуюся на единичное сечение, называют механическим напряжением (или просто напряжением) σ при деформации:
.	(1.42)	
В области упругих деформаций напряжение деформации и относительная линейная деформация связаны законом Гука:
,	(1.43)	
где α – коэффициент деформации данного твёрдого тела.
Модуль Юнга или модуль продольной упругости E – отношение нормального (направленного по нормали к поверхности) напряжения σ к относительному удлинению ε, вызванному этим напряжением в направлении его действия:
.	(1.44)	
Сила упругости, возникающая при деформации пружины, прямо пропорциональна удлинению пружины:
,	(1.45)	
где x – удлинение пружины; k – постоянный коэффициент, называемый жёсткостью пружины.
Модуль объёмного сжатия (модуль объёмной упругости, объёмный модуль упругости, модуль всестороннего сжатия) K характеризует способность материала сопротивляться изменению его объёма, не сопровождающемуся изменением формы. Он равен отношению величины нормального напряжения к величине относительного объёмного сжатия θ, вызванного этим напряжением:
.	(1.46)	
Модуль сдвига G характеризует способность материала сопротивляться изменению формы при сохранении его объёма. По величине он равен отношению касательного напряжения τ к величине угла сдвига γ, определяющего искажение прямого угла между плоскостями, по которым действуют касательные напряжения:
, ,	(1.47)	
где S – площадь грани; G – модуль сдвига.
Отношение между относительной величиной деформации поперечного размера и относительной величиной линейной деформации твёрдого тела называют коэффициентом поперечных деформаций (коэффициентом поперечного сжатия, коэффициентом Пуассона) ν:
,	(1.48)	
,	(1.49)	
.	(1.50)	
Сила сухого трения скольжения прямо пропорциональна силе нормального давления – закон Кулóна–Амонтóна (закон Амонтóна):
,	(1.51)	
где μ – коэффициент пропорциональности, зависящий от материалов трущихся поверхностей и не зависящий от силы нормального давления, называемый коэффициентом трения скольжения; N – модуль силы реакции опоры.
Основной закон вязкого трения (формула Ньютона):
,	(1.52)	
где F – касательная (тангенциальная) сила, вызывающая сдвиг слоёв жидкости друг относительно друга; S – площадь слоя, по которому происходит сдвиг;  – изменение скорости течения от слоя к слою (градиент скорости течения), иначе – скорость сдвига; η – коэффициент пропорциональности, который называется коэффициентом динамической вязкости (или просто динамической вязкостью) и характеризует сопротивление жидкости смещению его слоёв.
Отношение коэффициента динамической вязкости к плотности среды называют кинематическим коэффициентом вязкости или кинематической вязкостью:
,	(1.53)	
где η – коэффициент динамической вязкости; ρ – плотность.
Число Рéйнольдса Re характеризует соотношение между свойствами инерции и вязкости жидкостей или газов:
,	(1.54)	
где ρ – плотность жидкости (или газа); v – характерная (средняя по сечению) скорость потока; l – характерный линейный размер (размер сечения); η – коэффициент динамической вязкости жидкости или газа.
Частный случай движения в жидкости тел сферической формы (шаров) описывает закон Стокса:
,	(1.55)	
где FСт – сила Стокса; r – радиус шара; v – скорость его движения.
Зависимость давления идеальной жидкости от скорости её течения (уравнение Бернулли):
.	(1.56)	
Теорема Торричелли:
.	(1.57)	
Уравнение второго закона Ньютона в неинерциальной системе отсчёта:
.	(1.58)	
Центробежная сила инерции Fцб:
,	(1.59)	
где ω – величина угловой скорости; R – расстояние от центра вращения.
Центробежная сила – сила реакции, с которой движущаяся материальная точка действует на тело (связь), стесняющее свободу движения точки и вынуждающее её двигаться криволинейно:
,	(1.60)	
где m – масса точки; v – её скорость; R – радиус кривизны траектории.
Сила Кориолиса FК численно равняется произведению массы тела m на её кориолисово ускорение wК:
.	(1.61)	
Кориолисово ускорение (поворотное ускорение, ускорение Кориолиса) wК – составляющая абсолютного ускорения точки, обусловленная её перемещением из области с одной переносной скоростью (скоростью подвижной системы отсчёта) в область с другой переносной скоростью:
.	(1.62)	
Работа силы – мера действия силы F, зависящая от её модуля и направления, и от перемещения S точки приложения силы, равная проекции силы на направление перемещения точки её приложения, умноженной на величину этого перемещения:
.	(1.63)	
Элементарная работа dA силы F на бесконечно малом перемещении dS – скалярное произведение вектора силы на вектор перемещения:
.	(1.64)	
Мощность – физическая величина, измеряемая отношением работы к промежутку времени, в течение которого она произведена (работа, совершаемая силой в единицу времени). Если работа производится равномерно, то мощность N:
,	(1.65)	
где A – работа, совершённая силой за время t.
Средней мощностью Nср за время Δt называют отношение:
,	(1.66)	
где ΔA – работа, совершённая силой за время Δt.
Мгновенная мощность равняется произведению мгновенной скорости на проекцию силы в направлении перемещения:
.	(1.67)	
Кинетическая энергия материальной точки:
,	(1.68)	
где m – масса; v – скорость материальной точки.
Работа силы на некотором пути численно равняется разности кинетических энергий материальной точки в конечном и начальном её положениях (теорема о кинетической энергии):
.	(1.69)	
Потенциальная энергия в частном случае гравитационного поля Земли:
,	(1.70)	
где m – масса; g – ускорение свободного падения; h – высота.
Потенциальная энергия сжатой пружины:
,	(1.71)	
где x – абсолютное удлинение; k – жёсткость пружины.
Закон сохранения энергии в механике:
Полная механическая энергия изолированной системы материальных точек, равная сумме кинетических энергий точек и потенциальной энергии их взаимодействия, есть величина постоянная.
Угловая скорость ω – векторная величина, характеризующая быстроту изменения угла поворота радиус-вектора:
.	(1.72)	
Угловая скорость ω направлена вдоль неподвижной оси, вокруг которой вращается материальная точка, в сторону, определяемую правилом правого винта, и представляет собой псевдовектор. 
Изменение вектора угловой скорости со временем характеризуется угловым ускорением β:
.	(1.73)	
В случае неподвижной оси вектор углового ускорения направлен так же, как и вектор угловой скорости ω, если скорость вращения возрастает, и направлен в противоположную сторону, если скорость вращения убывает. 
Угол поворота вращающегося тела:
.	(1.74)	
Момент импульса относительно оси вращения – векторное произведение L:
,	(1.75)	
Момент силы (вращающий момент) M относительно неподвижной оси определяется векторным произведением M = [r F], где F – вектор силы, лежащий в плоскости вращения, r – радиус-вектор в той же плоскости, направленный от оси вращения к точке приложения силы F. Вектор M параллелен оси вращения, направление его совпадает с направлением поступательного движения правого винта при его вращении от r к F. По модулю момент силы M = rFsin(r,F).
.	(1.76)	
Второй (основной) закон динамики для вращательного движения, сходный со вторым законом Ньютона – уравнение моментов для вращения вокруг неподвижной оси:
,	(1.77)	
где M – момент силы; β – угловое ускорение.
Скалярную величину I, характеризующую инертность тела при непоступательном движении и зависящую от распределения масс в теле, называют моментом инерции тела относительно оси вращения:
,	(1.78)	
где ri – расстояние точки i от оси вращения.
Сумму моментов инерции точек называют моментом инерции тела относительно выбранной оси вращения.
Значения моментов инерции для некоторых однородных тел массой m: в случае тонкого стержня длины l относительно оси, перпендикулярной к стержню и проходящей через его середину, – ; тонкостенного цилиндра (обруча) относительно оси, совпадающей с осью трубы, – ; сплошного цилиндра (диска) относительно оси, перпендикулярной к плоскости диска и проходящей через его центр, – ; шара относительно оси, совпадающей с диаметром, – , во всех формулах R – радиус обруча, цилиндра, шара или сферы.
Момент импульса L твёрдого тела является векторной величиной (псевдовектор). Он складывается из моментов импульса всех образующих это тело материальных точек:
,	(1.79)	
,	(1.80)	
.	(1.81)	
Закон сохранения момента импульса: полный момент импульса в замкнутой системе тел (F = 0, M = 0) есть величина постоянная:
,	(1.82)	
т. е. момент импульса вращающегося тела остаётся постоянным, если момент внешних сил, действующих на тело, равен нулю.
Кинетическая энергия тела, вращающегося вокруг неподвижной оси:
,	(1.83)	
где I – момент инерции тела относительно неподвижной оси.
Полная кинетическая энергия тела:
.	(1.84)	
Теорема Гюйгенса–Штейнера (теорема Штейнера): Момент инерции IA относительно произвольной оси равен сумме момента инерции IC относительно оси, параллельной данной и проходящей через центр масс тела, и произведения массы тела на квадрат расстояния между осями:
,	(1.85)	
где m – масса твёрдого тела; l – расстояние между осями. 
Период T и частота ω0 гармонических колебаний математического маятника (формула Гюйгенса):
,	(1.86)	
где l – длина маятника; g – ускорение свободного падения.
Период колебаний физического маятника:
,	(1.87)	
где L – приведённая длина физического маятника:
,	(1.88)	
где I – момент инерции маятника относительно оси вращения; m – масса маятника; d – расстояние между точкой подвеса (осью вращения) и центром масс.

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
	Пример 1. Два свинцовых шара массами m1 = 2 кг и m2 = 3 кг подвешены на нитях длиной l = 70 см. Первоначально шары соприкасаются между собой, затем меньший шар отклонили на угол 60° и отпустили. Считая удар центральным и неупругим, определите: 1) высоту h, на которую поднимутся шары после удара; 2) энергию, израсходованную на деформацию шаров при ударе.
	Решение: Удар неупругий, поэтому после удара шары движутся с одинаковой скоростью. Запишем закон сохранения импульса:
,	(1)	
где v1 и v2 – скорости шаров до удара, u – после удара. 
Скорость v1 малого шара найдём из закона сохранения механической энергии: 
,		
откуда:
.		
Подставим в (1), тогда:
.		
Из закона сохранения механической энергии имеем:
.		
Откуда:
.		
Энергия, израсходованная на деформацию шаров при ударе, равна:
,		
.		
	Проверяем размерность:
.		
	Пример 2. Человек сидит в центре скамьи Жуковского, вращающейся по инерции вокруг неподвижной вертикальной оси с частотой n1 = 30 мин−1. В вытянутых в стороны руках он держит по гире массой m = 5 кг каждая. Расстояние от каждой гири до оси вращения l1 = 60 см. Суммарный момент инерции человека и скамьи относительно оси вращения I0 = 2 кг·м2. Определите: 1) частоту n2 вращения скамьи с человеком; 2) какую работу А совершит человек, если он прижмёт гири к себе так, что расстояние от каждой гири до оси станет равным l2 = 20 см.
	Решение: Так как момент внешних сил относительно вертикальной оси вращения равен нулю, то для этой системы выполняется закон сохранения момента импульса: 
,	(1)	
где I1 и I2 – моменты инерции всей системы до сближения и после сближения, ω1 и ω2 − угловые скорости соответственно.
Моменты инерции I1 и I2 складываются соответственно из моментов инерции человека, платформы и гирь относительно оси вращения. Поэтому мы можем записать: 
.	(2)	
Угловые скорости равны: 
.	(3)	
Подставив (2) и (3) в (1), мы получаем:
.		
Работа, совершаемая человеком, равна изменению кинетической энергии системы:
.		
Из уравнения (1) запишем:
.		
Тогда:
		
Пример 3. С наклонной плоскости скатывается без скольжения сплошной цилиндр и тележка, поставленная на лёгкие колёса. Какое тело скатывается быстрее и во сколько раз? Масса тележки и цилиндра одинаковы. 
Решение: Движение центров масс обоих тел является равноускоренным без начальной скорости (v0 = 0). Ускорение:
,		
где v – скорость в конце наклонной плоскости. Таким образом, путь, пройденный телами, будет равен:
.		
Тогда соотношение времён будет:
.		
Так как движение происходит без трения для обоих тел, то можно записать из закона сохранения энергии:
,		
где ∆Ек, ∆Еп – изменение кинетической и потенциальной энергии соответственно. 
Потенциальные энергии обоих тел на вершине наклонной плоскости одинаковы, и, следовательно, кинетические энергии внизу плоскости будут также одинаковы. Кинетическая энергия вращающегося при скатывании с плоскости цилиндра:
.		
Так как линейная скорость v = ωR, а момент инерции , то:
.		
У тележки, по условию задачи, масса колёс очень мала и, следовательно, кинетической энергией вращения этих колес мы можем пренебречь. Тогда кинетическая энергия тележки будет равна:
.		
Так как , то имеем:
,		
откуда:
.		
Цилиндр скатывается медленнее, чем тележка.
Пример 4. Уравнение движения материальной точки вдоль оси имеет вид x = A + Bt + Ct3, где А = 2 м, В = 1 м/с, С = –0,5 м/с3. Найдите координату х, скорость v и ускорение а точки в момент времени t = 2 с. 
Решение: Координату х найдём, подставив в уравнение движения числовые значения коэффициентов А, В, С и времени t:
.		
Мгновенная скорость есть первая производная от координаты по времени: 
.		
Ускорение точки найдём, взяв первую производную от скорости по времени: 
.		
В момент времени t = 2 с: 
,		
.		
Пример 5. Сплошной цилиндр массой m = 0,5 кг и радиусом R = 0,02 м вращается относительно оси, совпадающей с осью цилиндра, по закону φ = 12 + 8t – 0,5t2. На цилиндр действует сила, касательная к поверхности. Найдите эту силу и тормозящий момент.
Решение: Цилиндр вращается относительно оси, совпадающей с его осью, по закону изменения угла: 
.		
Угловая скорость:
.		
Угловое ускорение определяется как вторая производная от угла поворота: 
.		
Тормозящий момент можно определить из основного уравнения вращательного движения: 
,		
где  – момент инерции цилиндра. Тогда: 
.		
Знак «минус» показывает, что вектор момента силы направлен противоположно вектору угловой скорости. 
С другой стороны, момент силы равен:
,		
но так как сила действует касательно к поверхности, то sinφ = 1 и:
.		
Пример 6. Физический маятник представляет собой тонкий однородный стержень. Определите длину стержня, если частота колебаний маятника максимальна, когда точка подвеса О находится от центра масс С на расстоянии 20,2 см.

	Решение: Циклическая частота колебаний физического маятника равна:
,	(1)	
где m – масса маятника, g – ускорение свободного падения, I – момент инерции стержня относительно точки подвеса. 
Согласно теореме Штейнера, момент инерции стержня относительно точки подвеса, отстоящей от центра масс на расстоянии х, равен:
.	(2)	
Подставив (2) в (1), получаем:
.		
Так как частота колебаний должна быть максимальной, найдём экстремум этой функции:
,		
откуда:
 		
и длина стержня:
.		
	Пример 7. Материальная точка массой m = 10 г совершает гармонические колебания с частотой ν = 0,2 Гц. Амплитуда колебаний равна 5 см. Определите: 1) максимальную силу, действующую на точку; 2) полную энергию колеблющейся точки. 
	Решение: Уравнение гармонических колебаний:
.		
Тогда скорость и ускорение колеблющейся точки:
		
Согласно второму закону Ньютона сила, действующая на точку:
.		
Значение силы максимально, когда:
.		
Так как ω = 2πν, то искомое значение силы будет равно:
.		
Подставим численные значения:
.		
Проверяем размерность:
.		
Полная энергия колеблющейся точки равна:
.		
Подставим численные значения:
.		
Проверяем размерность:
.		

ПРИЛОЖЕНИЯ
1. Основные физические постоянные (округлённые значения)
Величина	Обозначение	Значение	
Нормальное ускорение свободного падения	g	9,81 м/с2	
Газовая (универсальная) постоянная	R	8,314 Дж·К–1 моль–1	
Гравитационная постоянная	G	6,672·10–11 м3·кг–1·с–2	
Масса покоя электрона	me	9,109·10–31 кг	
Объём 1 моля газа при нормальных условиях	V0	22,41·10–3 м3·моль–1	
Постоянная (число) Авогадро	NA	6,022·1023 моль–1	
Постоянная Больцмана	k	1,38·10–23 Дж·К–1	
Постоянная Вина	b	2,9·10–3 м·К	
Постоянная Планка	h	6,626·10–34 Дж·с	
Постоянная Планка универсальная	ħ	1,054·10–34 Дж·с	
Постоянная Стефана–Больцмана	σ	5,67·10–8 Вт·м–2·К–4	
Скорость света в вакууме	c0	3·108 м·с–1	
Температура, соответствующая 1 эВ	Т	11 606 К	
Электронвольт	эВ	1,6·10–19 Дж	
Элементарный заряд (заряд протона)	e	1,6·10–19 Кл	
Электрическая постоянная	ε0	8,8510–12 Ф/м	
Магнитная постоянная	μ0	4π10–7 Гн/м	
Атомная единица массы	а.е.м.	1,6610–27 кг	
Радиус Бора	а0	0,52910–10 м	
2. Плотность твёрдых тел
Твёрдое тело	Плотность, кг/м3	Твёрдое тело	Плотность, кг/м3	
Алюминий	2,7·103	Литий	0,53·103	
Барий	3,5·103	Медь	8,93·103	
Ванадий	6,02·103	Мрамор	2,7·103	
Висмут	9,8·103	Никель	8,9·103	
Вольфрам	19,3·103	Платина	21,4·103	
Гранит	2,6·103	Плексиглас (оргстекло)	1,2·103	
Древесина сухая, сосна	0,5·103	Пробка	0,2·103	
Железо, сталь	7,88·103	Свинец	11,3·103	
Золото	19,3·103	Серебро	10,5·103	
Каменная соль	2,2·103	Стекло (оконное)	2,5·103	
Кобальт	8,8·103	Цезий	1,9·103	
Латунь	8,55·103	Цинк	7,15·103	
3. Плотность жидкостей
Жидкость	Плотность, кг/м3	Жидкость	Плотность, кг/м3	
Бензин (20 ºС)	0,7·103	Нефть	0,8·103	
Вода при 4 °С	1,0·103	Ртуть	13,6·103	
Глицерин	1,26·103	Сероуглерод	1,26·103	
Молоко	1,03·103	Спирт	0,8·103	
4. Плотность газов (при нормальных условиях)
Газ	Плотность, кг/м3	Газ	Плотность, кг/м3	
Азот	1,25	Воздух	1,29	
Аргон	1,78	Гелий	0,18	
Водород	0,09	Кислород	1,43	
5. Коэффициент поверхностного натяжения жидкостей при 20 °С
Жидкость	Коэффициент, мН/м	Жидкость	Коэффициент, мН/м	
Вода	73	Ртуть	500	
Глицерин	62	Спирт	22	
Мыльная вода	40			
6. Эффективный диаметр молекулы
Газ	Диаметр, м	Газ	Диаметр, м	
Азот	3,0·10–10	Гелий	1,9·10–10	
Водород	2,3·10–10	Кислород	2,7·10–10	
7. Некоторые астрономические величины
Наименование	Значение	Наименование	Значение	
Радиус Земли	6,37·106 м	Расстояние от центра Земли до центра Солнца	1,49·1011 м	
Масса Земли	5,98·1024 кг			
Радиус Солнца	6,95·108 м			
Масса Солнца 	1,98·1030 кг	Расстояние от центра Земли до центра Луны	3,84·108 м	
Радиус Луны 	1,74·106 м			
Масса Луны	7,33·1022 кг