КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА 2
204. Найдите молярную массу μ и массу m0 одной молекулы поваренной соли NaCl.
209. Баллон объёмом V = 20 л заполнен азотом при температуре Т = 400 К. Когда часть газа израсходовали, давление в баллоне понизилось на Δp = 200 кПа. Определите массу m израсходованного азота. Процесс считайте изотермическим.
225. Определите суммарную кинетическую энергию Ек поступательного движения всех молекул газа, находящегося в сосуде объемом V = 3 л под давлением p = 540 кПа.
233. Определите показатель адиабаты γ идеального газа, который при температуре Т = 350 К и давлении p = 0,4 МПа занимает объём V = 300 л и имеет полную теплоёмкость при постоянном объёме CV = 857 Дж/К.
249. Найдите среднее число  столкновений за время t = 1 с и длину свободного пробега  молекулы гелия, если газ находится под давлением p = 2 кПа при температуре Т = 200 К.
259. Объём водорода при изотермическом расширении (Т = 300 К) увеличился в n = 3 раза. Определите работу W, совершённую газом, и теплоту Q, полученную им при этом. Масса m водорода равна 200 г.
269. Определите, во сколько раз увеличится коэффициент полезного действия η цикла Карно при повышении температуры нагревателя от Т1 = 380 К до Т1′ = 560 К? Температура холодильника Т2 = 280 К.
273. Найдите массу m воды, вошедшей в стеклянную трубку с диаметром канала d = 0,8 мм. Трубка опущена в воду параллельно поверхности на малую глубину. Считайте смачивание полным.

Указания к решению задач
1. Укажите основные законы и формулы, на которых базируется решение, и дайте словесную формулировку этих законов, разъясните буквенные обозначения формул. Если при решении задач применяется формула, полученная для частного случая, не выражающая какой-нибудь физический закон, или не являющаяся определением какой-нибудь физической величины, то её следует вывести.
2. Сделайте чертёж, поясняющий содержание задачи (в тех случаях, когда это возможно); выполнять его надо аккуратно с помощью чертёжных принадлежностей.
3. Сопровождайте решение задачи краткими, но исчерпывающими пояснениями.
4. Получите решение задачи в общем виде, т. е. выразите искомую величину в буквенных обозначениях величин, заданных в условии задачи. При этом способе решения не производятся вычисления промежуточных величин.
5. Подставьте в правую часть полученной рабочей формулы вместо символов величин обозначения единиц, произведите с ними необходимые действия и убедитесь в том, что полученная при этом единица соответствует искомой величине (см. примеры 1 и 8 в разделе 1, примеры 2, 3, 4, 6 и 7 в разделе 2).
6. Подставьте в рабочую формулу численные значения величин, выраженные в единицах одной системы. Несоблюдение этого правила приведёт к неверному результату. Исключения из этого правила допускаются лишь для тех однородных величин, которые входят в виде сомножителей в числитель и знаменатель формулы с одинаковыми показателями степени. Такие величины не обязательно выражать в единицах той системы, в которой ведётся решение задачи. Их можно выразить в любых, но только одинаковых единицах.
7. Произведите вычисление величин, подставленных в формулу, руководствуясь правилами приближённых вычислений, запишите в ответе численное значение и сокращённое наименование единицы искомой величины.
8. При подстановке в рабочую формулу, а также при записи ответа численные значения величин запишите как произведение десятичной дроби с одной значащей цифрой перед запятой на соответствующую степень десяти. Например, вместо 7460 следует записать 7,46·103, вместо 0,00000298 следует записать 2,98·10–6 и т.д.
9. Оцените (где это целесообразно) правдоподобность численного ответа. В ряде случаев такая оценка поможет обнаружить ошибочность полученного результата. Например, коэффициент полезного действия тепловой машины не может быть больше единицы (100%), электрический заряд не может быть меньше элементарного заряда |е| ≈ 1,6·10–19 Кл, скорость тела не может быть больше скорости света в вакууме c0 ≈ 3·108 м/с и т.д.

УЧЕБНЫЕ МАТЕРИАЛЫ ПО РАЗДЕЛАМ 
КУРСА ФИЗИКИ
МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА
Основные законы и формулы
Количество вещества ν – физическая величина, характеризующая количество атомов, молекул, ионов, электронов или любых других частиц, содержащихся в веществе:
	(2.1)	
Закон кратных отношений: 
Если два элемента образуют несколько соединений, то массы одного элемента, приходящиеся на единицу массы другого, относятся как целые числа.
Закон Авогадро: 
В равных объёмах любых газов при одинаковых давлении и температуре содержится одинаковое число молекул, а именно NА ≈ 6,02·1023 молекул (число Авогадро). При этом 1 моль любого газа при нормальных условиях (н. у. – давление p0 = 1 атм, температура t0 = 0 °С) занимает одинаковый объём (V0 ≈ 22,4 л). 
Молярная масса вещества μ – масса одного моля вещества:
	(2.2)	
Закон парциальных давлений Дальтона: 
Давление смеси газов, химически не взаимодействующих друг с другом, равно сумме парциальных давлений газов, составляющих смесь, т. е. сумме тех давлений, которые производили бы отдельные газы этой смеси, занимая весь объём.
Молярная масса смеси газов:
	(2.3)	
где mi – масса i-той компоненты смеси; νi – количество вещества i-той компоненты смеси; n – число компонент смеси.
Уравнение изотермы идеального газа (закон Бойля–Мариотта):
.	(2.4)	
Уравнение изобары идеального газа (закон Гей-Люссака):
.	(2.5)	
Уравнение изохоры для идеального газа (закон Шарля):
.	(2.6)	
Объединённый закон Бойля–Мариотта и Гей-Люссака:
.	(2.7)	
Уравнение Менделеева–Клапейрона (Клапейрона–Менделеева): 
,	(2.8)	
где μ – молярная масса газа.
Если система заключена в адиабатическую оболочку, не обладающую теплопроводностью (т. е. не допускающую обмен теплотой с окружающими телами и системами), то единственным способом изменения внутренней энергии системы является производство над ней работы внешними силами, изменяющими параметры системы:
.	(2.9)	
Количество теплоты, сообщённое термодинамической системе (телу), идёт на увеличение внутренней энергии и совершение термодинамической системой работы (первое начало термодинамики):
.	(2.10)	

Изобарический процесс: p = const	

Изотермический процесс: T = const	

Изохорический процесс: V = const	

Адиабатический процесс: ΔQ = 0	

		

Теплоёмкость C термодинамической системы численно равна количеству теплоты δQ, которое необходимо передать системе (или отвести от неё), чтобы изменить её температуру T на 1 К (или 1 °С); точнее – это отношение количества теплоты, поглощаемой системой при бесконечно малом изменении её температуры, к этому изменению:
,	(2.11)	
где δQ – переданное системе количество теплоты, которое зависит от способа перехода системы из одного состояния в другое, и поэтому является функционалом; ΔT – бесконечно малое изменение температуры.
Удельная теплоёмкость c данного вещества – количество теплоты, необходимое для нагревания 1 кг данного вещества на один градус. 
Каждому процессу, характеризующемуся простейшим дополнительным условием типа V = const или p = const, отвечает своя теплоёмкость – CV (теплоёмкость при постоянном объёме) и Cp (теплоёмкость при постоянном давлении).
Формула (уравнение) Майера:
.	(2.12)	
Энтальпия H термодинамической системы:
.	(2.13)	
Отношение молярных теплоёмкостей (или показатель адиабаты):
,	(2.14)	
где i – число степеней свободы молекулы.
Уравнение адиабаты (уравнение Пуассона):
,	(2.15)	
где p – давление газа; V – объём газа; γ – показатель адиабаты. 
Уравнение политропы:
.	(2.16)	

Процесс	Молярная теплоёмкость	Показатель n	Закон процесса	
Изотермический	∞	1	pV = const	
Изохорический	CV	∞	V = const	
Изобарический	Cp	0	p = const	
Адиабатический	0	γ	pVγ = const	
Политропический	C	n	pVn = const	

Коэффициент полезного действия (КПД) – отношение полученной работы к полному количеству теплоты, отнятому от нагревателя:
.	(2.17)	
Равенство Клаузиуса для идеального обратимого кругового процесса:
.	(2.18)	
Энтропия:
.	(2.19)	
Интегральное определение энтропии:
.	(2.20)	
Формула (принцип) Больцмана:
,	(2.21)	
где W – термодинамическая вероятность.
При всех процессах, происходящих в макроскопической системе, энтропия системы возрастает (необратимые процессы) или, в крайнем случае, остаётся неизменной (обратимые процессы), т. е. имеет место закон возрастания энтропии:
.	(2.22)	
Максвелловская функция:
.	(2.23)	
Средняя (арифметическая) скорость молекул :
.	(2.24)	
Средняя квадратичная скорость:
.	(2.25)	
Наиболее вероятная скорость:
.	(2.26)	
Барометрическая формула:
.	(2.27)	
Закон Больцмана:
,	(2.28)	
где A – постоянная величина; ε – энергия частицы; k – постоянная Больцмана.
Распределение Максвелла–Больцмана:
,	(2.29)	
где Eп = Eп(x,y,z) – потенциальная энергия одной частицы во внешнем потенциальном поле; m – масса частицы; k – постоянная Больцмана; T – термодинамическая температура;  – интеграл по состоянию одной частицы; V – полный объём системы; dV = dxdydz.
Длина свободного пробега:
,	(2.30)	
где  – средняя скорость теплового движения молекул (средний путь за одну секунду); Z – число столкновений за 1 с.
Уравнение теплопроводности (закон) Фурье:
,	(2.31)	
где ΔQ – количество теплоты, переносимое через площадь сечением S за время Δt; λт – коэффициент теплопроводности, зависящий от свойств вещества.
Коэффициент температуропроводности a связан с коэффициентом теплопроводности λт соотношением:
,	(2.32)	
где c – удельная теплоёмкость вещества; ρ – плотность вещества.
Плотность теплового потока (тепловой поток через единицу площади за единицу времени):
.	(2.33)	
Закон Ньютона:
,	(2.34)	
где q – тепловой поток (измеряемый в ваттах); S – площадь поверхности источника теплоты (в м2);  – коэффициент конвективного теплообмена (Вт·К–1); Tw – температура поверхности раздела; Tc – характерная температура среды (в кельвинах).
Коэффициент теплопроводности для идеальных газов λт:
	(2.35)	
Закон Стéфана–Бóльцмана:
,	(2.36)	
где q – тепловой поток (в джоулях в секунду, т. е. в Вт); S – площадь поверхности излучающего тела (в м2); T1 и T2 – температуры (в кельвинах) излучающего тела и окружения, поглощающего это излучение. 
Коэффициент σ называется постоянной Стéфана–Бóльцмана и равен (5,66961 ± 0,00096)·10–8 Вт·м–2·К–4.
Закон Фика:
,	(2.37)	
где Jm – плотность потока массы; ∆M – масса вещества, переносимая за время ∆t через площадку S при градиенте плотности ; D – коэффициент диффузии (коэффициент молекулярной диффузии), зависящий как от свойств вещества, так и от условий, при которых происходит диффузия.
Коэффициент вязкости для идеального газа:
	(2.38)	
Уравнение Ван-дер-Ваальса:
,	(2.39)	
где R – универсальная газовая постоянная.
Уравнение Ван-дер-Ваальса в виде, в котором его можно использовать для любой массы m газа:
.	(2.40)	
Внутренняя энергия реального газа:
.	(2.41)	
Сила поверхностного натяжения, приходящаяся на единицу длины контура, носит название коэффициента поверхностного натяжения:
.	(2.42)	
Формула Лапласа:
.	(2.43)	
Формула Жюрена:
.	(2.44)	
Тепловое расширение твёрдых тел количественно выражается коэффициентом линейного расширения α:
,	(2.45)	
где l0 – длина тела при начальной температуре.
ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
Пример 1. Вычислите удельные теплоёмкости при постоянном объёме (cV) и при постоянном давлении (сp) смеси неона и водорода, если масса m1 неона составляет 80% массы смеси, масса m2 водорода – 20%. 
Решение: Удельные теплоёмкости идеальных газов при постоянном объёме cV и при постоянном давлении сp выражаются формулами:
.		
Для неона (одноатомный газ) число степеней свободы i = 3, молярная масса μ = 4·10–3 кг/моль. Для водорода (двухатомный газ)  число степеней свободы i = 5, молярная масса μ = 2·10–3 кг/моль. Вычисляя по этим формулам, получим для неона:
,		
а для водорода:
.		
Теплоту, необходимую для нагревания смеси на Δt, выразим двумя способами: 
,		
где cV – удельная теплоёмкость смеси, и:
,		
где cV1 – удельная теплоёмкость неона, cV2 – удельная теплоёмкость водорода. Приравняв правые части этих выражений, и, разделив обе части полученного равенства на Δt, получим:
,		
откуда:
.		
Отношения  и  показывают, какую долю массы смеси составляет масса первого газа (неона) и второго газа (водорода). С учётом этих обозначений последняя формула примет вид:
.		
Подставив в эту формулу численные значения величин, найдём:
.	
Аналогично получим формулу для вычисления удельной теплоёмкости смеси при постоянном давлении: 
,		
.	
Пример 2. Объём аргона, находящегося при давлении 80 кПа, увеличился от 1 л до 2 л. На сколько изменится внутренняя энергия, если расширение производилось: а) изобарически; б) адиабатически.
Решение: Изменение внутренней энергии газа равно:
,		
где i – число степеней свободы молекул.
Для нахождения изменения температуры ΔТ воспользуемся уравнением Менделеева−Клапейрона для начального и конечного состояний газа:
		
или при изобарном процессе:
.		
Тогда изменение внутренней энергии при изобарном расширении будет равно:
.	(1)	
При адиабатическом расширении теплообмен с окружающей средой не происходит. Тогда первое начало термодинамики можно записать:
		
Из этого уравнения следует, что работа расширения газа может быть совершена только за счёт уменьшения внутренней энергии.
Работа, совершённая газом при адиабатическом процессе:
,		
где  – показатель адиабаты.
Для аргона (одноатомный газ) i = 3, а показатель адиабаты γ = 1,67 и тогда изменение внутренней энергии при адиабатическом процессе будет:
.	(2)	
Проверяем размерность:
.		
Пример 3. Определите среднюю длину свободного пробега молекул λ и число соударений за 1 с, происходящих между всеми молекулами водорода, находящегося в сосуде ёмкостью 1 л при температуре 27 ºС и давлении 10 кПа. 
Решение: Средняя длина свободного пробега молекул водорода:
,		
где d − эффективный диаметр молекулы водорода (данные в справочной литературе), n – концентрация молекул. Согласно основному уравнению молекулярной физики, давление определяется:
		
где k – постоянная Больцмана. Тогда длина свободного пробега молекулы равна:
.		
Среднее число соударений молекулы за 1 с равно:
,		
где  – средняя арифметическая скорость молекулы.
Число соударений между всеми молекулами за 1 с равно:
,		
где N – число молекул водорода в объёме 1 л (10−3 м3), N = nV. Тогда:
		
.	
Проверяем размерность:
.		
Средняя длина свободного пробега молекулы:
.		
Проверяем размерность:
.		
Пример 4. Чему равны средние кинетические энергии поступательного и вращательного движения молекул, содержащихся в m = 4 кг кислорода при температуре T = 200 К? 
Решение: Считаем кислород идеальным газом. Кислород является двухатомным газом, при этом связь между атомами считаем жёсткой. В связи с этим молекуле кислорода приписывается 3 степени свободы на поступательное движение (i = 3) и 2 степени свободы на вращательное движение (i = 2).
Согласно теореме Больцмана, на каждую степень свободы приходится kТ/2 энергии, где k – постоянная Больцмана, Т – термодинамическая температура. Тогда для одной молекулы:
.		
Число молекул, содержащихся в данной массе кислорода, будет равно:
,		
где  – число молей, m – масса газа, μ – молярная масса газа, NА – постоянная Авогадро. 
Тогда средняя кинетическая энергия поступательного движения всех молекул будет равна:
,		
где  – универсальная газовая постоянная. Средняя энергия вращательного движения всех молекул будет равна:
		
Подставим численные значения:
,		
.		
Проверяем размерность:
.		
Пример 5. Температура нагревателя тепловой машины 500 К. Температура холодильника 300 К. Определите КПД тепловой машины, работающей по циклу Карно и полную мощность машины, если нагреватель ежесекундно подаёт ей 1500 Дж теплоты.
Решение: КПД машины равен:
,		
откуда:
.		
Подставим численные значения:
		
Эта работа совершается за 1 с, следовательно, полная мощность машины:
.		
Пример 6. Определите коэффициент поверхностного натяжения спирта, если в капиллярной трубке диаметром 1 мм он поднялся на 11 мм.
Решение: Высота h подъёма жидкости в капиллярной трубке выражается формулой:
,		
где θ – краевой угол (θ = 0 при полном смачивании стенок трубки жидкостью); R − радиус канала трубки; ρ − плотность жидкости; g − ускорение свободного падения. 
Так как радиус капилляра R связан с диаметром d как R = d/2, то:
.		
Отсюда получаем коэффициент поверхностного натяжения:
		
Подставим численные значения: 
.		
Проверяем размерность:
.		
Пример 7. Коэффициент поверхностного натяжения на границе вода-масло равен σ = 0,018 Н/м. Какую работу надо произвести, чтобы каплю масла массой m = 1 г раздробить внутри воды на капельки радиусом r = 10–4 см. Процесс дробления изотермический. Плотность масла ρ = 900 кг/м3. 
Решение: При изотермическом дроблении большой капли на мелкие затрачивается энергия только на образование добавочной поверхности. Внутренняя энергия не меняется. Поэтому работа:
,		
где σ − коэффициент поверхностного натяжения; ΔS – добавочная поверхность, равная:
,		
где N – число мелких капель; r, R – радиусы мелкой и крупной капли соответственно. Число капель может быть найдено из выражения:
.		
Масса масла не изменяется, поэтому масса большой капли равна массе N мелких капель: 
,		
откуда:
.		
Тогда:
.		
Подставляя значения N и ΔS в выражение для работы и, пренебрегая единицей по сравнению с N, получаем:
.		
	Пример 8. Найдите добавочное давление внутри мыльного пузыря диаметром d = 10 см. Какую работу нужно совершить, чтобы выдуть пузырь? 
Решение: Плёнка мыльного пузыря имеет сферические поверхности – внешнюю и внутреннюю. Обе поверхности оказывают давление на воздух, заключённый внутри пузыря. Так как толщина плёнки чрезвычайно мала, то диаметры обеих поверхностей практически одинаковые. Поэтому добавочное давление:
, 		
где R – радиус пузыря, σ – коэффициент поверхностного натяжения. Так как R = d/2, то:
.		
Произведём вычисления:
.		
Работа, которую нужно совершить, чтобы, растягивая плёнку, увеличить её поверхность на ΔS, выражается формулой:
.		
В данном случае S – общая площадь двух сферических поверхностей плёнки мыльного пузыря; S0 – общая площадь двух поверхностей плоской плёнки, затягивавшей отверстие трубки до выдувания пузыря. Пренебрегая S0, получаем:
		
Произведём вычисления:
.		
ПРИЛОЖЕНИЯ
1. Основные физические постоянные (округлённые значения)
Величина	Обозначение	Значение	
Нормальное ускорение свободного падения	g	9,81 м/с2	
Газовая (универсальная) постоянная	R	8,314 Дж·К–1 моль–1	
Гравитационная постоянная	G	6,672·10–11 м3·кг–1·с–2	
Масса покоя электрона	me	9,109·10–31 кг	
Объём 1 моля газа при нормальных условиях	V0	22,41·10–3 м3·моль–1	
Постоянная (число) Авогадро	NA	6,022·1023 моль–1	
Постоянная Больцмана	k	1,38·10–23 Дж·К–1	
Постоянная Вина	b	2,9·10–3 м·К	
Постоянная Планка	h	6,626·10–34 Дж·с	
Постоянная Планка универсальная	ħ	1,054·10–34 Дж·с	
Постоянная Стефана–Больцмана	σ	5,67·10–8 Вт·м–2·К–4	
Скорость света в вакууме	c0	3·108 м·с–1	
Температура, соответствующая 1 эВ	Т	11 606 К	
Электронвольт	эВ	1,6·10–19 Дж	
Элементарный заряд (заряд протона)	e	1,6·10–19 Кл	
Электрическая постоянная	ε0	8,8510–12 Ф/м	
Магнитная постоянная	μ0	4π10–7 Гн/м	
Атомная единица массы	а.е.м.	1,6610–27 кг	
Радиус Бора	а0	0,52910–10 м	
2. Плотность твёрдых тел
Твёрдое тело	Плотность, кг/м3	Твёрдое тело	Плотность, кг/м3	
Алюминий	2,7·103	Литий	0,53·103	
Барий	3,5·103	Медь	8,93·103	
Ванадий	6,02·103	Мрамор	2,7·103	
Висмут	9,8·103	Никель	8,9·103	
Вольфрам	19,3·103	Платина	21,4·103	
Гранит	2,6·103	Плексиглас (оргстекло)	1,2·103	
Древесина сухая, сосна	0,5·103	Пробка	0,2·103	
Железо, сталь	7,88·103	Свинец	11,3·103	
Золото	19,3·103	Серебро	10,5·103	
Каменная соль	2,2·103	Стекло (оконное)	2,5·103	
Кобальт	8,8·103	Цезий	1,9·103	
Латунь	8,55·103	Цинк	7,15·103	
3. Плотность жидкостей
Жидкость	Плотность, кг/м3	Жидкость	Плотность, кг/м3	
Бензин (20 ºС)	0,7·103	Нефть	0,8·103	
Вода при 4 °С	1,0·103	Ртуть	13,6·103	
Глицерин	1,26·103	Сероуглерод	1,26·103	
Молоко	1,03·103	Спирт	0,8·103	
4. Плотность газов (при нормальных условиях)
Газ	Плотность, кг/м3	Газ	Плотность, кг/м3	
Азот	1,25	Воздух	1,29	
Аргон	1,78	Гелий	0,18	
Водород	0,09	Кислород	1,43	
5. Коэффициент поверхностного натяжения жидкостей при 20 °С
Жидкость	Коэффициент, мН/м	Жидкость	Коэффициент, мН/м	
Вода	73	Ртуть	500	
Глицерин	62	Спирт	22	
Мыльная вода	40			
6. Эффективный диаметр молекулы
Газ	Диаметр, м	Газ	Диаметр, м	
Азот	3,0·10–10	Гелий	1,9·10–10	
Водород	2,3·10–10	Кислород	2,7·10–10	
7. Некоторые астрономические величины
Наименование	Значение	Наименование	Значение	
Радиус Земли	6,37·106 м	Расстояние от центра Земли до центра Солнца	1,49·1011 м	
Масса Земли	5,98·1024 кг			
Радиус Солнца	6,95·108 м			
Масса Солнца 	1,98·1030 кг	Расстояние от центра Земли до центра Луны	3,84·108 м	
Радиус Луны 	1,74·106 м			
Масса Луны	7,33·1022 кг